左のカード「1年ずつ複利」は、初期値の 100 に、変化率の 5% を「回数」の分だけくり返し掛けます。
回数を 1・2・3 にすると、105・110.25・115.7625 です。
10 にすると 162.889463 で、ボード1の複利と同じになります。
カードの中の線は、1年ごとの金額の増え方です。
右のカードは、あとの節で使います。
差は、増えた分にも 5% が掛かることから生まれる
この例では、単純に足した場合は 150、複利は約162.89 で、差は約12.89 です。
単純に足す計算では、毎年増える量は、ずっと 5 のままです。
複利では、1年目に増えた 5 にも、2年目に 5% が掛かります。
ボード1で年数を 2 にすると、単純に足した場合は 110、複利は 110.25 で、差は 0.25 です。
この 0.25 は、1年目に増えた 5 の 5% にあたります。
増えた分にも次の 5% が掛かり、その分にもまた次の 5% が掛かります。
これが毎年重なって、10年では約12.89 の差になります。
年 5% なら、約14.21年で 2倍になる
ボード2の右のカード「倍になるまで」は、毎期同じ率で増えるとき、何期で指定した倍率になるかを出します。
ここでは 1期を 1年として読みます。
年 5% で 2倍になるのは、約14.21年後です。
左のカードで回数を 14 にすると 197.99316、15 にすると 207.892818 です。
14年目と15年目のあいだで、200 を超えることが分かります。
単純に足す計算では、200 になるのは 20年目です。
複利では、それより6年ほど早くなります。
カードには「72の法則」の値も出ています。
72 を年利の数で割ると、2倍になるまでのおよその年数になる、という目安です。
年 5% なら 72 ÷ 5 ＝ 14.4年で、正確な計算の 14.21年に近い値です。
数字を変えて確かめる
ボード1で、元本 100・年利 5% のまま、年数を変えたときです。
1年目は、どちらも 105 で同じです。
年数が長くなるほど、差は速く広がります。
10年で約12.89 だった差は、20年で約65.33、30年で約182.19 です。
年数が 2倍・3倍になると、差は約5倍・約14倍になっています。
増えた分にも次の 5% が掛かる、という重なりが、年数の分だけ続くからです。
次は、年数を 10年にしたまま、年利を変えたときです。
右の2列は、ボード2の右のカードで、変化率を同じ年利にしたときの値です。
年利を 5% から 2倍の 10% にすると、10年後の差は約12.89 から約59.37 へ、4倍以上になります。
年利が高いほど、増えた分に掛かる率も高くなるからです。
72の法則の値は、年利 3%〜10% では、正確な年数とのずれが1年より小さくなっています。
年利 1% では 72年と 69.66年で、2年あまりずれます。
元本を 1,000,000 にすると、複利は 1,628,894.626777 で、元本 100 のときの 1万倍です。
元本の 100 は、100万円のように読み替えても、増え方の割合は変わりません。
ボード2の左のカードの「毎回の増減」には、毎年加える額を入れられます。
10 にすると、回数 1 では 115 です。100 を 5% 増やした 105 に、10 を加えています。
回数 10 では 288.668388 です。
このとき入れた額は、最初の 100 と、毎年の 10 が 10回分で、合わせて 200 です。
この計算で分かること、分からないこと
ボードは、毎年同じ年利が続き、1年に1回、その年の分が加わるとして計算しています。
実際の金利や増え方は、途中で変わることがあります。
利息が1年に何回つくかによっても、結果は少し変わります。
また、ボードの結果は、税金や手数料を引く前の金額です。
次に読む — 年平均成長率（CAGR）の計算 — 最初と最後の値から年率を求める
最初の値・最後の値・年数から、毎年同じ率で増えたとみなしたときの年率を逆算し、その率で最後の値に戻るかを確かめています。
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