わり算と分数 — 商とあまり・分数・小数で答えを表す

左の2枚が、わられる数（13）とわる数（4）です。 右の4枚は、上から商、あまり、分数、小数です。 わられる数とわる数を変えると、右の4枚が連動して変わります。

商のカードの quot は、わり算の商（整数の部分）を出す関数です。 あまりのカードの rem は、あまりを出す関数です。 分数のカードは、分子と分母を受け取って分数を表示します。 13/4 を 3と1/4 の形で表し、小数の 3.25 とテープ図も並べています。

13/4 のように、分子が分母より大きい分数を仮分数といいます。 3と1/4 のように、整数と分数を合わせた形を帯分数といいます。 13/4 と 3と1/4 は、同じ数です。

3つの書き方が同じ量になる理由

13 を4人で同じだけ分けるとします。 まず1人に 3 ずつ配ると、4 × 3 ＝ 12 で、1 が残ります。 これが「3 あまり 1」です。

残った 1 も分けられるものなら、4人で分けて1人 1/4 ずつです。 1人分は、3 と 1/4 を合わせて 3と1/4 になります。 1/4 は 0.25 なので、3と1/4 は 3.25 です。

つまり、分数や小数の答えは、あまりをもう一度わる数で割って、商に加えたものです。 式で書くと、商 ＋ あまり ÷ わる数 ＝ 3 ＋ 1 ÷ 4 ＝ 3.25 です。

どの形で答えるかは、分けるものによって決まります。 13個のりんごを切らずに4人で分けるなら、「1人3個で、1個あまる」です。 長さ 13m のロープを4等分するなら、1本は 3.25m です。

あまりは、わる数より小さい

ボード2では、商を自分で決められます。 「ためしの商」を変えると、あまりが「わられる数 − わる数 × ためしの商」で計算されます。

ためしの商を 2 にすると、あまりは 5 です。 5 はわる数の 4 より大きいので、4人にもう 1 ずつ配れます。 「あまり ÷ わる数」のカードも 1と1/4 になり、1 をこえます。

ためしの商を 4 にすると、あまりは −3 です。 4人に 4 ずつ配るには 16 必要で、13 では 3 足りません。

あまりが 0 以上で、わる数の 4 より小さくなるのは、ためしの商が 3 のときだけです。 わり算の商は、あまりがこの範囲に入るように決まります。 だから、あまりは必ずわる数より小さくなります。

このとき「あまり ÷ わる数」は 1/4 で、1 より小さくなります。 これが、帯分数 3と1/4 の分数の部分です。 右上の「商 ＋ あまり ÷ わる数」は、ためしの商をいくつにしても 3.25 のままです。 配り方を変えても、1人分の量そのものは変わらないからです。

たしかめ算

左の「たしかめ」は、わる数 × 商 ＋ あまり です。 4 × 3 ＋ 1 ＝ 13 で、わられる数に戻ります。 商とあまりが合っているかは、この式で確かめられます。

ただし、この式はためしの商が 2 でも 4 でも 13 になります。 4 × 2 ＋ 5 も、4 × 4 ＋（−3）も 13 だからです。 たしかめの式が合うだけでは、商は1つに決まりません。 あまりがわる数より小さいことも合わせて確かめると、答えが1つに決まります。

小数を分数に戻して、約分する

3.25 は、小数第2位までの数です。 100倍すると 325 なので、3.25 は 325/100 と書けます。 ボード3では、この 325/100 を約分しています。

約分は、分子と分母を同じ数で割って、簡単な分数にすることです。 分数の大きさは変わりません。 分数は「分子 ÷ 分母」というわり算の答えでもあります。 わられる数とわる数を同じ数で割っても、わり算の答えは変わりません。 325 ÷ 100 も 13 ÷ 4 も、答えは 3.25 です。

分子と分母の両方を割り切れる数を、公約数といいます。 そのうち、いちばん大きな数が最大公約数です。 最大公約数で割ると、約分が1回で終わります。 325 と 100 の最大公約数は 25 です（カードの gcd は、最大公約数を出す関数です）。

325 ÷ 25 ＝ 13、100 ÷ 25 ＝ 4 なので、325/100 は 13/4 になります。 下の分数のカードは、これを帯分数の 3と1/4 で表しています。 ボード1の 13 ÷ 4 と同じ分数に戻りました。

ボード1の分数のカードも、約分してから表示します。 約分できるときは、約分する前の分数が小さく添えられます。

数字を変えて確かめる

ボード1のわられる数とわる数は、−・＋ で1ずつ変えられます。

わられる数を 12 から 16 まで1ずつ増やすと、あまりは 0、1、2、3 と増えます。 4 になる前に商が 1 増えて、あまりは 0 に戻ります。 わる数が 4 なら、あまりは 0〜3 のどれかです。

14 ÷ 4 のあまりは 2 です。2/4 は約分すると 1/2 なので、分数では 3と1/2 になります。 わられる数がわる数より小さい 3 ÷ 4 は、商が 0、あまりが 3 です。

10 ÷ 3 は、小数にすると 3 がどこまでも続きます。 ボードの 3.333333 は、途中で切った表示です。 分数なら、3と1/3 でちょうど表せます。

たしかめと「商 ＋ あまり ÷ わる数」は、どの行でも同じです。 あまりがわる数の 4 より小さく、0 以上なのは、商が 3 の行だけです。

小数第3位までの 1.625 は、1000倍して 1625/1000 にします。 約分すると 13/8 で、ボード1の 13 ÷ 8 と同じ分数になります。

この計算で分かること、分からないこと

小数を分数に戻せるのは、小数が終わる数のときです。 10 ÷ 3 の小数を 3.333 で切って、ボード3に 3333/1000 と入れると、最大公約数は 1 です。 これ以上約分できず、3と1/3 にはなりません。 3.333 は、3と1/3 に近いけれど少し小さい、別の数だからです。

ボードの商とあまりは、わられる数とわる数が 0 以上の整数のときの計算です。 小数や負の数のわり算で「あまり」をどう決めるかは、ここでは扱っていません。

次に読む — 四捨五入・切り上げ・切り捨て — 概数の求め方 バスの台数や箱の数のように、わり算の結果を整数にするとき、切り上げと切り捨てのどちらを使うかを扱っています。

---

学習の活用例をもっと見る →