100が5年で150になった。年平均10%増えた？

左が、最初の値・最後の値・年数。右上が、全体で何%増えたか。右下が、それを年数で割った単純平均。

売上、利用者数、人口、生産量、資産など、何の数でも計算は同じだ。この記事では 100 → 150 で考える。

50%増えたなら、5年で割って10%？

100 が 150 になった。増えたのは 50 で、最初の 100 の 50%。 ボードの右上も「50%」になる。

これを 5年で割ると、50% ÷ 5 ＝ 10%。ボードの右下も「10%」になる。

けれどこの 10% は、毎年「最初の 100 の 10%」、つまり毎年 10 ずつ足す考え方だ。 10 × 5 ＝ 50 で、ちょうど 150 になる。 前の年に増えた分は、次の年の計算に入っていない。

毎年10%なら、5年後はいくら？

「毎年 10% 増えた」と言うなら、ふつうは前の年の値に 10% を掛けていく。 下のボードの左のカードは、100 に毎年 10% を掛けて、5回くり返す。 回数を 1 から 5 に変えると、1年ずつの値が見える。 右のカードは、あとで出てくる率で同じことをしたもの。

• 1年目 — 110
• 2年目 — 121
• 3年目 — 133.1
• 4年目 — 146.41
• 5年目 — 161.051

毎年 10% なら、5年後は 150 ではなく 161.051 になる。 増えた分にも、次の年の 10% が掛かるからだ。 だから、ちょうど 150 になる年率は、10% より小さい。

150になる年率を逆算する

毎年同じ率 r で増えて、5年で 150 になったとする。式にすると、こうなる。

100 × (1 ＋ r)⁵ ＝ 150

5回掛けて 1.5倍になる数を探せばよい。逆算すると、次の式になる。

r ＝ (150 ÷ 100)^1/5 − 1

「^1/5」は、5回掛けると 1.5 になる数（5乗根）を表す。 1.5 の5乗根は約 1.0845 なので、r は約 8.45%。 下のボードでは 8.447177% と出る。

右上が年平均成長率。(最後 ÷ 最初)^{1 ÷ 年数} − 1 に 100 を掛けて、% にしている。

8.45%なら本当に150になる？

ボードの右下は、最初の 100 に、この年率を 5回掛けたもの。 150 になる。

1年ずつ見たいときは、2つ目のボードの右のカード「毎年8.447177%」を使う。 回数を 1 から 5 にすると、こうなる。

• 1年目 — 108.447177
• 2年目 — 117.607902
• 3年目 — 127.54245
• 4年目 — 138.316186
• 5年目 — 149.999999

最後が 149.999999 なのは、カードの率を小数第6位までで打ちこんであるから。ほぼ 150 に戻る。 毎年 10% の左のカードは 161.051 なので、2つの率の差が、5年で約 11 の差になる。

「年平均」は、毎年の実績の平均ではない

年平均成長率は、毎年この率で増えたと仮定したら、同じ最終値になる一定の率だ。 実際に毎年 8.45% ずつ増えた、という意味ではない。

たとえば 100 → 130 → 110 → 140 → 120 → 150 のように、途中で上がったり下がったりしてもよい。 最初が 100、最後が 150、期間が 5年なら、年平均成長率は同じ約 8.45% になる。 途中の動きは、この数字には出てこない。

年平均成長率は、英語の Compound Annual Growth Rate の頭文字をとって、CAGR とも呼ばれる。

数字を変えて確かめてみる

1つ目と3つ目のボードで、最初・最後・年数を変える。

100 → 150（5年）と 100 → 200（10年）は、単純平均がどちらも 10%。 けれど年平均成長率は、約 8.45% と約 7.18% で、かなり違う。 同じ「10%」の単純平均でも、毎年掛けていく年率は同じにならない。 この2つでは、年数の長い 10年のほうが、10% との差が大きい。

200 → 300 は、100 → 150 と同じ 8.447177%。どちらも 1.5倍だからだ。 倍率と年数が同じなら、元の大きさが 100 でも 200 でも、年平均成長率は同じになる。

次に読む — 年5%を10年なら、50%増える？ こちらは逆向きで、年率が分かっているときに、何年後にいくらになるかを出す。

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