三角形の面積 — 底辺×高さ÷2になる理由

ボード1の左の2枚が、底辺と高さのスライダーです。 右の三角形と平行四辺形は、どちらもこの2枚につながっています。 スライダーで底辺か高さを変えると、2つの図形の形と面積が連動して変わります。

三角形は、平行四辺形のちょうど半分

初期値は、底辺が 6、高さが 4 です。 平行四辺形の面積は 6 × 4 で 24 です。 三角形の面積は 6 × 4 ÷ 2 で 12 です。 12 は、24 のちょうど半分です。

2つの図形は、同じ底辺と同じ高さを使っています。 違うのは、式の最後に ÷ 2 があるかどうかだけです。

なぜ半分になるのか

平行四辺形に、向かい合う角を結ぶ線を1本ひきます。この線を対角線といいます。 すると平行四辺形は、形も大きさも同じ三角形2つに分かれます。

分かれた三角形は、どちらも平行四辺形と同じ底辺と高さをもっています。 同じ三角形2つで1つの平行四辺形になるので、三角形1つは平行四辺形の半分です。

逆の向きからも確かめられます。どんな三角形でも、同じものをもう1枚用意して半回転させます。 底辺ではない辺どうしをぴったり合わせると、同じ底辺と高さの平行四辺形ができます。

平行四辺形の面積が底辺 × 高さになる理由も、図で確かめられます。 平行四辺形の片方のはしから、直角三角形を切り取って反対側へ移すと、長方形になります。 底辺と高さは変わらないので、面積は長方形と同じ、底辺 × 高さです。 三角形の面積は、その半分なので、底辺 × 高さ ÷ 2 になります。

頂点の位置が違っても、面積は同じ

三角形の形は、底辺と高さだけでは決まりません。 同じ底辺と高さでも、上の頂点がどこにあるかで形が変わります。 ボード2では、同じ底辺と高さを、形の違う2つの三角形につないでいます。

右上は、頂点が底辺の内側の上にある三角形です。 右下は、頂点が底辺の左はしの真上にある直角三角形です。 底辺 6・高さ 4 のとき、どちらも 6 × 4 ÷ 2 で 12 になります。

直角三角形は、たて 4・よこ 6 の長方形を、対角線で半分にした形です。 長方形の面積 24 の半分なので、12 になります。 半分になる理由が、いちばん直接に見える形です。

頂点を、底辺と平行な線の上でどこへずらしても、底辺から頂点までの高さは変わりません。 そのため、面積も変わりません。 頂点が、底辺のはしを越えた位置にある三角形でも同じです。 このときの高さは、底辺をのばした線から頂点までの垂直な距離になります。 この形はボードの図形カードでは描けないため、文章だけで説明しています。

図形カードの種類は、カードの上の欄で切りかえられます。 右下のカードを「平行四辺形」にすると、ボード1と同じ比べ方になります。

高さは、ななめの辺の長さではない

高さは、底辺から垂直に測った距離です。 ボードの図でも、高さは図形の横に、縦の点線でかいてあります。

ボード2の直角三角形には、ななめの辺（斜辺）の長さも出ています。 底辺 6・高さ 4 なら、斜辺は 7.2111 です。 面積の計算には、この長さは使いません。

平行四辺形のななめの辺も、高さより長くなります。 ななめの辺を高さのかわりにかけると、面積は実際より大きくなります。

数字を変えて確かめる

ボード1とボード2のスライダーは、1 から 10 まで、1 ずつ変えられます。

どの行でも、三角形は平行四辺形のちょうど半分です。 底辺 5・高さ 3 では、平行四辺形の面積が 15 と奇数になります。 そのときも三角形は半分の 7.5 で、小数の 0.5 がつくだけです。

底辺 3・高さ 8 は、初期値の 6 と 4 とは形がまったく違います。 それでも面積は同じ 12 です。底辺 × 高さが、どちらも 24 だからです。

ボード2でも、2つの三角形の面積はいつも同じです。 底辺 9・高さ 4 ならどちらも 18、底辺 10・高さ 3 ならどちらも 15 になります。

この式で求められるもの

底辺 × 高さ ÷ 2 は、底辺と高さが分かっているときの式です。 3つの辺の長さだけが分かっているときは、そのままでは使えません。 先に高さを求めるか、3辺の長さから面積を出す式（ヘロンの公式）を使います。

次に読む — 単位換算 — 長さ・面積・時間の換算と考え方 長さ・面積・時間の単位の直し方をまとめた記事です。1m² が 10,000cm² になるのは、縦と横の両方が100倍になるからだ、という説明もあります。

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