CalcAnyway · カード事典 · 2026-09-27 更新

関数・数直線/行列・ベクトル・複素数 — 式や数を、グラフ・数直線・矢印で見る

「カードを追加」の「関数・数直線」と「行列・ベクトル・複素数」には、式や数を、グラフ・数直線・矢印にして見るカードが並んでいます。 このページでは、その9種類のカードを、一覧の順に説明します。 たとえば下のボード1では、x が 0.5 のとき x² は 0.25 で、数直線の上では x² のほうが x より左にあります。

ボード1

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左下の「x」は入力カードで、つまみで −2 から 2 まで、0.1 ずつ動かせます(入力カードの表示は入力の種類)。 上の「x²」は関数カードで、f(x) = x^2 のグラフを描き、x の値のところに点を打ちます。 グラフの中の「f(0.5) = 0.25」が、その点の値です。 右の数直線カードは、x と x² の2つの値を、1本の線の上に並べています。

x を 1.5 にすると、f(1.5) = 2.25 になり、数直線では x² が x の右に移ります。 x が 1 のときは、どちらも 1 で、2つの点が同じ位置に並びます。 0 と 1 の間の数は、2乗すると元の数より小さくなります。 数直線の目盛りは、並べた値に合わせて、そのつど決め直されます。

関数

x の式を入れると、そのグラフを描くカードです。 「f(x) =」の欄に x^2 や a*x+b のような式を書きます。 式の書き方は計算カードと同じで(式の書き方と関数)、2x のように掛け算の記号を省いても読めます。 「x:」の2つの欄が横軸の範囲で、置いたばかりのカードでは −10〜10 です。 縦軸の範囲は、描いた曲線に合わせて自動で決まります。

式の中の x 以外の文字(a や b)は、同じ名前のカードを線でつなぐと、そのカードの値として使われます。 名前は a・mu のようなアルファベットだけにします。a1 のように数字の入った名前は使えません。 名前が「x」のカードをつなぐと、その x のところに点が打たれ、「f(2) = 4」のように値が出ます。この値が、ほかのカードに渡ります。 つないでいない文字がある式や、読めない式では、グラフは描かれず「xの関数を入力」と出ます。 sin・cos・tan を使うと、x の範囲の欄の横に「角度: 度(x は度で入れます)」と出ます(角度の単位は式の書き方と関数の三角関数の節)。

「グラフを調べる ▾」を押すと、次の4つの欄が開きます。 値を入れた欄は、閉じたあとも表示されたままです。 欄が増えるとグラフが小さくなるので、そのときはカードの右下の角をドラッグして、カードを大きくします。

  • くらべる — 2つ目の式を書くと、点線のグラフで重ねて描きます。
  • 接線 x₀ — x の値を入れると、その点の接線を引き、「f′(1) = 2」のように傾きを出します。式から導関数が求まるときは、「f′(x) = 2*a*x + b」のように導関数の式も出ます。
  • 面積 ∫ — 区間の始まりと終わりを入れると、その区間の定積分の値を出し、グラフと横軸の間を塗ります。横軸より下の部分は、マイナスとして数えます。右の選択肢で n=4〜n=32 を選ぶと、区間を n 本の長方形で近似した値も並びます。
  • 零点・極値・交点 — チェックを入れると、グラフが横軸と交わる点(零点)、山の頂上(極大)と谷の底(極小)、「くらべる」の式との交点に印を付け、座標を出します。

ボード2

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ボード2は、f(x) = a·x² + b·x + c の a・b・c を、スライダーにした3枚の入力カードで変えるボードです。 「グラフを調べる ▾」を開いて「零点・極値・交点」にチェックを入れると、零点 x = −1.414, 1.414 と、極小 (0, −2) が出ます。 c を 1 にすると、放物線は横軸と交わらなくなり、零点は「なし」、極小は (0, 1) です。 c を −2 に戻して b を 2 にすると、零点は x = −2.732, 0.732、極小は (−1, −3) に動きます。 b を 0 に戻して a を −1 にすると、放物線は下に開き、極小のかわりに極大 (0, −2) が出ます。

a を 1 に戻して(b は 0、c は −2)、「接線 x₀」に 1 を入れると、f′(x) = 2*a*x + b と f′(1) = 2 が出ます。 「面積 ∫」を 0〜2 にすると、∫[0, 2] = −1.333 です。この区間では、グラフの大部分が横軸より下にあります。

関数カードの例は、ほかに3つあります。 「直線を動かす」は、f(x) = a·x + b の a と b を動かすボードです。「くらべる」に a*x を入れてあり、実線と点線のずれが b の分です。 「曲線の上の点」は、f(x) = a·x² に「x」のカードをつないだボードで、x を −3 にすると f(−3) = 9、さらに a を −1 にすると f(−3) = −9 です。 「繰り返し増える」は、100 を r% ずつ n 回増やした値を計算カードで、その曲線を関数カードで表します。 r が 5、n が 10 のとき 162.889463 で、r を 10 にすると 259.374246、さらに n を 20 にすると 672.749995 です。

直線を動かすボードを開く ↗

曲線の上の点のボードを開く ↗

繰り返し増えるボードを開く ↗

正規分布

「正規分布」を押すと、3枚のカードがまとめて置かれます。 平均の「mu」(0)と標準偏差の「sigma」(1)の入力カードと、正規分布の式 exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2))/(sigma*sqrt(2*pi)) を入れた関数カードです。 関数カードの範囲は −4〜4 で、「面積 ∫」に −1〜1 が入っていて、∫[-1, 1] = 0.683 と出ます。 平均から標準偏差1つ分の範囲に、全体の約68% が入る、という値です。 3枚目はふつうの関数カードなので、使える機能は上の「関数」と同じです。

下のボードは、平均 50・標準偏差 10 の点数の分布です。40〜60点の面積は 0.683 です。 面積の区間を 60〜80 にすると 0.157、30〜70 にすると 0.954 になります。

点数の分布(正規分布)のボードを開く ↗

単位円

角 θ を度で入れると、単位円(半径 1 の円)の上の点と、sin・cos・tan を表す線を描くカードです。 右には、選んだ関数の 0〜360° の波が描かれ、θ の位置に印が付きます。 θ は欄に入力するほか、円の上をドラッグしても変えられます(ドラッグでは 1° きざみ)。 −30 を入れると 330°、400 を入れると 40° のように、角は 0〜360° に直されます。

右上の選択肢(はじめは「sin」)で選んだ値が、カードの大きな数になり、ほかのカードに渡ります。 その下には、θ をラジアンにした値と、残りの2つの関数の値が出ます。 tan 90° のように値が決まらないときは「—」と出て、この値を使うカードには「参照先に値がありません」と出ます。 角は線でつないで渡すことはできず、つなごうとすると「このカードは値を受け取れません」と出ます。 下のボードは θ が 150° で、「sin 150° = 0.5」、ラジアンでは 5π/6、cos は −0.866 です。

θ = 150° の単位円のボードを開く ↗

数直線

数の出るカードを線でつなぐと、その値を1本の数直線の上に点で並べるカードです。 点の上には、値と、つないだカードの名前が出ます。名前が7文字を超えるときは、6文字と「…」に縮めて表示されます。 並べられるのは、つないだ順に8枚までです。 目盛りの範囲は並べた値に合わせて決まり、0 に近い値を並べたときは 0 も入ります。 何もつないでいないときは「値のカードをつないでください」と出ます。 数直線カードは、ほかのカードに値を渡しません。

「現在と目標」や「最小・現在・最大」のような、2つ以上の数を組にするカードを1枚つなぐと、組の中の数が「現在」「目標」などの名前で並びます。 「最小・現在・最大」では、最小から最大までが帯で塗られます。 数のカードをいくつか選んで「可視化」を押したときにも、候補に「数直線」が出ることがあります(可視化)。 使い方の例は、上のボード1です。

桁の数直線

数直線カードの「対数目盛」にチェックを入れた状態で置くカードです。 1、10、100 のように、1目盛りで10倍になる目盛りで並べるので、けたのちがう数を1本の線に並べられます。 チェックを外すと、ふつうの数直線になります。 目盛りの数が 100,000 以上になると、1e5 のように書かれます。1e5 は 10 の 5乗のことです。

0 以下の値は、この目盛りには置けません。 そのときは「0以下 1件は置けません」のように件数が出て、残りの値だけが並びます。 すべての値が 0 以下のときは「対数目盛には 0 より大きい値が要ります」と出ます。

ボード3

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ボード3は、髪の毛の太さ 0.1mm から、富士山の高さ 3,776,000mm(3,776m)までを、mm にそろえて並べたボードです。 目盛りは 0.1 から 1e7 までで、4つの点が1本の線の上に間をあけて並びます。 「対数目盛」のチェックを外すと、目盛りは 0 から 4,000,000 までになり、富士山の高さ以外の3つは 0 のところに重なります。

行列

ここからは「行列・ベクトル・複素数」のカードです。どれも、数はカードの中の欄に入力します。

「行列」は、行列を1つ入れておくカードです。「行」と「列」の − + で、1〜6 の大きさにできます。 マスには、整数・小数・分数(1/2 など)を入れられます。 正方行列のときは「行列式」が出て、その値がほかのカードに渡ります。 正方行列でないときは「正方行列ではありません」、空いているマスがあるときは「空いているマスがあります。すべて埋めてください」、 数として読めないマスがあるときは「読めない数があります」と出ます。

下のボードでは、2行2列の行列 A(1行目が 2 と 1、2行目が 1 と 3)の行列式 5 を、計算カードの abs(A) で受け取っています。 2つのベクトル (2, 1) と (1, 3) を2辺とする平行四辺形の面積は、この行列式の絶対値で、5 です。

行列式を計算カードで使うボードを開く ↗

行列の計算

2つの行列 A と B の計算をするカードです。 選択肢で「たす(+)」「ひく(−)」「かける(×)」「何倍かする」「転置」「逆行列」「連立方程式を解く」を選びます。 A と B の大きさは「A行」「A列」「B行」「B列」の − + で変え、マスに数を入れると、右に答えの行列が出ます。 分数は分数のまま計算されます。たとえば、1行目が 2 と 1、2行目が 1 と 3 の行列の逆行列は、3/5、−1/5、−1/5、2/5 です。

形が合わない組み合わせでは「形が合いません」、逆行列がないときは「ただ1つには決まりません(逆行列がありません)」と出ます。 「連立方程式を解く」は、A を係数、B を右辺として、未知数の値を出します。 3元の連立方程式をこの形で置くカードは、「式・方程式」の「連立方程式(3元・行列)」にもあります(式・方程式)。 行列の計算カードは、ほかのカードに値を渡しません。

ボード4

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ボード4は、2人の買い物の合計を、行列のかけ算で出すボードです。 A の各行が1人分の個数で、1人目は品物を 3個と 5個、2人目は 2個と 4個買っています。B は2つの品物の単価で、120円と 80円です。 答えの 760 と 560 が、それぞれの合計金額です。 答えのマスを押すと、「3×120 + 5×80 = 760」のように、そのマスの計算が下に出て、使った行と列に色が付きます。

「自分で解く」を押すと、答えのマスが空になり、自分の答えを入れられます。 合っているマスは緑、ちがうマスは赤の枠になり、「1/2 合っています」のように、合っている数が出ます。 「答えを見る」を押すと、答えの表示に戻ります。

ベクトル

2つの平面ベクトル a と b の計算をするカードです。 選択肢で「たす(a + b)」「ひく(a − b)」「何倍かする(k a)」「内積(a · b)」を選び、成分を欄に入れます。 成分には、整数・小数・分数を入れられます。小数は分数に直して計算され、1.5 は 3/2 と表示されます。 カードには成分ごとの計算の式と、答えのベクトルの大きさが出て、その下に矢印の図が描かれます。 置いたばかりのカードは a = (3, 1)、b = (1, 2) の足し算で、a + b = (4, 3)、大きさは |a + b| = √25 = 5 です。

ほかのカードに渡る値は、足し算・引き算・何倍かでは答えのベクトルの大きさ、内積では内積の値です。 内積では、cos θ と「なす角 θ ≈ 45°」のように、2つのベクトルのなす角も出ます。 どちらかが零ベクトルのときは「なす角は決まりません(零ベクトル)」です。 下のボードは a = (2, 1)、b = (1, 3) の内積で、a · b = 2 × 1 + 1 × 3 = 5、なす角は約45° です。

内積となす角のボードを開く ↗

複素数

2つの複素数 z₁ と z₂ の計算をするカードです。 選択肢で「足す(+)」「引く(−)」「掛ける(×)」「割る(÷)」を選び、それぞれの実部と虚部を欄に入れます。 入れられるのは整数と小数で、1/2 のような分数は「読めない数があります(例: 3、−1.5、0.25)」になります。 カードには途中の式が出て、掛け算では「i² = −1 だから」、割り算では「分母と分子に (1 − i) を掛けて」のような一言が入ります。 その下に、答えの長さと角が出て、複素平面に矢印が描かれます。

掛け算と割り算では、長さが掛け算(割り算)になり、角が足し算(引き算)になることも、式で示されます。 ほかのカードに渡る値は、答えの長さ(絶対値)です。0 で割ると「0 では割れません」と出ます。 置いたばかりのカードは (3 + 2i)(1 + i) で、答えは 1 + 5i です。 下のボードは (2 + i) × i で、答えは −1 + 2i です。 「長さ 2.24 × 1 = 2.24、角 26.57° + 90° = 116.57°」と出て、長さは同じまま、矢印が左回りに 90° 回ります。

i を掛けるボードを開く ↗

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次に読む — 図形・単位・日付 図形、単位の換算、日付と期間のカードの説明です。


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