太陽系の距離と縮尺 — ふつうの目盛りと対数目盛りで比べる

左の列の中央にあるつまみで、太陽から地球までを何cmにするかを決めます。 中央の列は、水星・海王星・次の恒星までの距離です。 距離はどれも太陽からのもので、カードの名前は「地球まで」「海王星まで」のように短くしています。

左上は太陽の直径、左下は次の恒星までの距離を km に直した値です。 右のグラフは、水星・海王星・次の恒星までの距離を、ふつうの棒グラフに並べています。 つまみを変えると、ほかのカードとグラフも連動して変わります。

太陽から地球までを1として、ほかの距離を表す

太陽から地球までの平均の距離は、約1億5,000万km です。 天文学では、この距離を「1天文単位」と呼び、太陽系の中の距離を表すのに使います。

ボードのカードに書いてある倍率は、それぞれの距離を天文単位で表した数です。 水星までは 0.39、海王星までは 30.1 です。 太陽の直径は 0.0093 で、次の恒星までは 268,000 です。

縮めたあとの距離 ＝ 倍率 × 太陽から地球までの長さ

地球までを 10cm にすると、海王星までは 30.1 × 10 ＝ 301cm です。 ほかの距離も、すべて同じ割合で縮めています。

水星と地球までなら、机の上に置けます。 海王星までの約3m は、部屋の端から端くらいです。 次の恒星までの 26.8km は、となりの町くらいの距離になります。 惑星までの距離と、次の恒星までの距離とでは、けたがいくつもちがいます。

太陽の大きさも、同じ割合で縮める

縮めたのは距離だけではありません。 ボード1の左上は、太陽の直径を同じ割合で縮めた値です。 地球までを 10cm にすると、太陽の直径は 0.093cm で、1mm もありません。 惑星は太陽よりずっと小さいので、この縮尺ではさらに小さな点になります。

図鑑の太陽系の絵では、太陽や惑星が見える大きさで描かれています。 距離と大きさを、本当の割合のまま1枚の絵に入れることはできないためです。

ふつうの目盛りでは、棒が1本しか見えない

ボード1の右のグラフは、水星まで・海王星まで・次の恒星までの3つを、ふつうの棒グラフに並べたものです。 見える棒は、次の恒星までの1本だけです。 3.9 も 301 も、2,680,000 のとなりでは高さになりません。

ふつうの目盛りは、1目盛りで同じ数だけ増えます。 次の恒星までの 2,680,000 が入るように目盛りを決めると、海王星の 301 はその約9,000分の1で、0 と見分けがつきません。 グラフの形がおかしいのではなく、並べた数の大きさが、けたちがいに離れています。

縮尺を変えても、けたのちがいは残る

ボード1で地球までを 1cm にすると、海王星までは 30.1cm で、机の上に置けます。 それでも次の恒星までは 268,000cm、つまり 2.68km あります。

縮尺を変えると、すべての距離が同じ割合で変わります。 海王星までも次の恒星までも 10分の1 になり、2つの比は変わりません。 棒グラフの見え方も、10cm のときと同じです。 けたのちがう数を一緒に見るには、縮尺ではなく、目盛りの作り方を変えます。

1目盛りで10倍になる目盛り — 対数目盛り

ふつうの数直線は、1・2・3・4……と、1目盛りごとに同じ数だけ増えます。 これに対して、1・10・100・1,000……と、1目盛りごとに 10倍になる目盛りがあります。 これを対数目盛りといいます。 ボード2は、ボード1と同じ距離を、対数目盛りの数直線に並べたものです。

上の段の中央がつまみで、ボード1と同じく、太陽から地球までの長さです。 上の段の左右が太陽の直径と次の恒星まで、中央の段が水星までと海王星までです。 下の数直線は、これら5つの値を、対数目盛りで並べています。

太陽の直径の 0.093cm から、次の恒星までの 2,680,000cm まで、5つが1本の線の上に並びます。 ボード1の棒グラフでは、3つのうち2つが見えませんでした。 並べた数は同じで、変えたのは目盛りだけです。

目盛りの数字は、左から 0.01・0.1・1・10・100・1,000・10,000 と進みます。 その先は 1e5・1e6・1e7 と書かれています。 1e5 は 100,000（10 の 5乗）のことで、0 が多い数を短く書く書き方です。

「いくつ増えたか」ではなく「何倍になったか」を見る目盛り

ふつうの目盛りでは、1 → 2 → 3 → 4 の間隔が同じです。 対数目盛りでは、1 → 10 → 100 → 1,000 の間隔が同じです。 対数目盛りの上で同じ間隔にあるものは、同じ倍率で離れています。 そのため、太陽系の距離のように、けたがいくつもちがう数を比べるときに使われます。

ボード2で地球までを 1cm にすると、目盛りの数字は 0.001 から 1e6 までになります。 100cm にすると、0.1 から 1e8 までです。 どちらでも、5つの点の間隔は 10cm のときと同じです。

縮尺を変えることは、すべての距離に同じ数を掛けることです。 対数目盛りの上では、同じ数を掛けると、どの点も同じ幅だけずれます。 このボードの数直線は、範囲を値に合わせて変えるので、点ではなく目盛りの数字のほうが、1けたずつずれて見えます。

とても小さいものから、とても大きいものまでを一緒に表すとき、ほかの分野でも同じ考え方が使われています。

• 音の大きさ（デシベル） — 音のエネルギーの桁を表す目盛り
• 地震の大きさ（マグニチュード） — 地震のエネルギーの桁を表す目盛り
• 酸性・アルカリ性（pH） — 水素イオンの濃さの桁を表す目盛り

数字を変えて確かめる

ボード1で、太陽から地球までの長さを変えたときです。

地球までを 10倍にすると、どの距離も 10倍になります。 100cm（1m）にすると、太陽の直径は 0.93cm で、1cm 近くになります。 そのとき、海王星までは 3,010cm（約30m）、次の恒星までは 268km です。 どの縮尺でも、棒グラフで見える棒は1本だけです。

この計算で分かること、分からないこと

惑星は、太陽のまわりを、まん丸ではなく少しつぶれた円（だ円）を描いて回っています。 そのため、太陽からの距離はいつも同じではありません。 ボードの倍率は、比べるための代表の距離です。

「太陽の次に近い恒星」は、プロキシマ・ケンタウリです。 太陽から約4.24光年離れていて、天文単位にすると約26万8,000 になります。 ボードの 268,000 は、この値です。

このボードは、正確な模型を作るためのものではありません。 太陽系の惑星までの距離と、次の恒星までの距離とで、けたがどれだけちがうかを比べるための計算です。

次に読む — デシベルの足し算 — 複数の音を合わせた大きさを求める 音のエネルギーの桁を表すデシベルで、複数の音を合わせた大きさを求めます。

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