左の2枚は、排出率（%）と引く回数です。右の3枚が結果で、左の数字を変えると連動して変わります。 「1回以上出る確率」は、目当てのものが1回以上出る確率です。 「1回も出ない確率」はその反対で、2つを足すと 100% になります。 「出る個数の期待値」は、同じ回数の抽選を何度も繰り返したときの、出る個数の平均です。
この例では、排出率 1%・100回で、1回以上出る確率が 63.40%、1回も出ない確率が 36.60%、期待値が 1個です。
1回も出ない確率から、1回以上出る確率を求める
1回引いて出ない確率は、1 − 0.01 ＝ 0.99 です。 1回ごとの結果がほかの回に影響されないなら、2回続けて出ない確率は 0.99 × 0.99、 100回続けて出ない確率は 0.99 を100回掛けた値になります。
「1回以上出る」の反対は「1回も出ない」です。 そこで、1回以上出る確率は、1から「1回も出ない確率」を引いて求めます。
1回以上出る確率 ＝ 1 −（1 − 排出率）回数
排出率は、1% を 0.01 として使います。 ボード1のカードは、この式に 100 を掛けて % で表しています。 100回では、1回も出ない確率が 36.60%、1回以上出る確率が 63.40% で、足すと 100% です。
引く回数を 1 にすると、1回以上出る確率は 1%、1回も出ない確率は 99% です。 2 にすると、1回も出ない確率は 0.99 × 0.99 ＝ 0.9801 で 98.01%、1回以上出る確率は 1.99% です。
1% の2回分を足しても 2% にならないのは、1回目も2回目も出る場合（0.01 × 0.01 ＝ 0.0001、つまり 0.01%）を、 足し算では2回数えてしまうからです。
排出率1%なら、100回引けばほぼ当たる？
引く回数を 100 に戻すと、ボード1は 63.40% に戻ります。 この問いへの答えは「いいえ」です。 100回引いて1回以上出る確率は 63.40% で、残りの 36.60% は、100回引いても1回も出ない場合です。
「排出率 1% × 100回 ＝ 1」と考えると、100回で1個は出るように見えます。 この 1 は期待値で、ボード1の「出る個数の期待値」も 1個です。 ただし期待値は、100回の抽選を何度も繰り返したときの、出る個数の平均です。 0個の回もあれば、2個以上の回もあり、平均すると 1個になります。 0個の回の割合が、ボード1の「1回も出ない確率」の 36.60% です。
期待値が 1個でも、1回以上出る確率が 100% になるわけではありません。 排出率を 50、引く回数を 2 にすると、期待値は 50% × 2 ＝ 1個のままですが、 1回以上出る確率は 75% で、1回も出ない確率は 25% です。2回続けて出ない確率が 0.5 × 0.5 ＝ 25% あるからです。
次の表は、期待値が 1個になる組み合わせを、ボード1で並べたものです。
| 排出率 | 引く回数 | 期待値 | 1回以上出る確率 |
|---|---|---|---|
| 50% | 2回 | 1個 | 75.00% |
| 10% | 10回 | 1個 | 65.13% |
| 5% | 20回 | 1個 | 64.15% |
| 2% | 50回 | 1個 | 63.58% |
| 1% | 100回 | 1個 | 63.40% |
| 0.1% | 1,000回 | 1個 | 63.23% |
期待値はどの行も 1個ですが、1回以上出る確率は同じではありません。 排出率が小さく、引く回数が多いほど、約 63.2% に近づいていきます （数学では、この値は 1 − 1 ÷ e ＝ 約 0.632 に近づきます。e は約 2.718 の定数です）。 排出率 0.1%・1,000回でも、63.23% です。
50%・90%に届くのは、何回目か
何回で決まった確率に届くかは、「1回も出ない確率」の減り方から求められます。 1回引くごとに、1回も出ない確率は 0.99 倍、つまり 1% 減ります。 これが最初の半分になった時点で、1回以上出る確率は 50% です。10分の1になれば 90% です。
ボード2の「倍になるまで」カードは、毎期の変化率と倍率から、何期で届くかを出します。 ここでは、1期を1回引くことと読みます。 変化率に −1（%）、倍率に 0.5 を入れると、1回も出ない確率が半分になるまでの回数が出ます。